Cao đàm khoát luận như thế không khéo dễ dẫn đến tư biện, mù mờ, rồi dễ sinh ra nói nhảm. Để tránh chuyện đó, ta hãy bắt đầu bằng một vài ví dụ. Đôi khi, vài ví dụ thực chất có thể đẻ ra một lý thuyết, có khi còn đẻ ra cả một ngành học.

Leonhard Euler (1707 - 1783), nhà toán học vĩ đại người Thụy Sĩ, được xem là cha đẻ của ngành Tôpô học, vì ông là người đầu tiên nghiên cứu hai bài toán sau đây.

Bài toán về 7 chiếc cầu

Königsberg là một thành phố cổ thuộc Vương quốc Phổ và nước Đức cho đến 1945. Sau Đại chiến Thế giới II, nó thuộc Liên Xô (cũ) rồi Nga, và được gọi là Kaliningrad. Chỉ có rất ít dấu tích của Königsberg còn sót lại ngày nay ở Kaliningrad.

Ở thành phố Königsberg, có 7 chiếc cầu. Chúng nối hoặc là hai bờ sông, hoặc một bờ sông và một trong hai cù lao, hoặc nối hai cù lao đó. (Xem bản đồ dưới đây).

Từ xưa, cư dân ở Königsberg đã đặt câu hỏi: Liệu có thể đi một lần qua tất cả 7 chiếc cầu mà không có cầu nào phải lặp lại hay không?

Không cần để tâm nhiều lắm đến vị trí cụ thể của 7 chiếc cầu. Điều quan trọng nhất mà người ta quan sát được từ bài toán này là như sau: Đây là một vấn đề của hình học, nhưng không phụ thuộc vào độ lớn của các yếu tố tham dự (dòng sông rộng hay hẹp; những chiếc cầu dài hay ngắn, to hay bé; các cù lao lớn nhỏ thế nào). Vấn đề chỉ phụ thuộc hình dáng và vị trí tương đối của các yếu tố.

Dựa trên nhận xét đó, sơ đồ 7 cái cầu ở Königsberg được vẽ lại như sau:

Không có bằng chứng nào còn lại chứng tỏ rằng Euler đã tới Königsberg. Tuy nhiên, năm 1735 ông đã chứng minh rằng mong muốn tìm một cách đi qua cả 7 chiếc cầu “một lần, không lặp lại” là không thể thực hiện được.

Chúng ta thử tìm hiểu lời giải của Euler cho bài toán 7 cây cầu. Trên bản đồ Königsberg, hãy thay mỗi bờ sông, mỗi cù lao bằng một điểm, gọi là đỉnh, thay mỗi chiếc cầu bằng một đường nối các đỉnh, gọi là cạnh. Hình thu được gọi là một đồ thị. Bài toán về 7 cái cầu ở Königsberg thực chất là chuyện cố gắng “vẽ bằng một nét” đồ thị sau đây:

Bài toán này rất quen thuộc với trẻ em qua trò chơi “vẽ hình bằng một nét”. Có ai thuở thiếu thời lại chẳng đã từng đau đầu với câu đố vẽ cái phong bì chỉ bằng một nét?

Hãy bắt đầu với nhận xét đơn giản sau đây: Mỗi khi ta đi qua một đỉnh, thì có 2 cạnh (2 cây cầu) xuất phát từ đỉnh đó đã được đi qua: Cạnh đi tới, và cạnh đi ra khỏi đỉnh đó. Như thế, mỗi lần đi qua một đỉnh, số cạnh nối với đỉnh đó mà ta chưa đi qua giảm đi 2. Cho nên, nếu một đỉnh có số cạnh nối tới là một số chẵn (gọi tắt là đỉnh chẵn) thì mỗi lần đi tới đó ta luôn còn đường để thoát ra ngoài. Còn tại mỗi đỉnh lẻ, chẳng hạn có (2k+1) đường nối với đỉnh đó, thì sau k lần đi qua, tới lần (k+1) ta sẽ hết đường để đi khỏi đỉnh đó.

Như vậy, các đỉnh lẻ chính là các cản trở cho việc “đi qua” mà không phải dừng lại. Chiến thuật của ta là không xuất phát từ các đỉnh chẵn (nếu vẫn còn đỉnh lẻ), vì nếu xuất phát từ một đỉnh chẵn, khi đi khỏi đỉnh đó, chúng ta sẽ biến đỉnh chẵn này thành một đỉnh lẻ trong phần tiếp theo của trò chơi.

Ta chỉ cần xét các đồ thị liên thông, nghĩa là đồ thị mà giữa 2 đỉnh bất kỳ của nó đều có ít nhất một đường nối. (Việc vẽ một đồ thị không liên thông hiển nhiên qui về vẽ từng thành phần liên thông của nó.) Dựa trên những nhận xét về đỉnh chẵn và đỉnh lẻ nói trên, ta có thể chứng minh:

Trong mỗi đồ thị, số các đỉnh lẻ luôn là một số chẵn,

Một đồ thị liên thông không có đỉnh lẻ nào, cần tối thiểu 1 nét vẽ.

Một đồ thị liên thông có 2n đỉnh lẻ (n>0), cần tối thiểu n nét vẽ.

Cách vẽ như sau: Xuất phát từ một đỉnh lẻ bất kỳ (nếu có), vẽ tùy ý cho đến khi không vẽ được nữa. Khi đó ta gặp một đỉnh lẻ khác. Nét vẽ vừa rồi khử bớt 2 đỉnh lẻ (là điểm đầu và điểm cuối của nét vẽ). Lặp lại quá trình trên cho đến khi không còn đỉnh lẻ nào. Trường hợp không có đỉnh lẻ nào, hãy xuất phát từ một đỉnh chẵn bất kỳ, vẽ tùy ý cho đến khi không vẽ được nữa. Khi đó, ta gặp lại đỉnh xuất phát.

Chúng tôi không đi sâu vào chi tiết chứng minh những khẳng định trên.

Cái phong bì có 5 đỉnh, trong đó 4 góc là 4 đỉnh lẻ. Vì thế, không thể vẽ phong bì bằng 1 nét. Cần ít nhất 4/2 = 2 nét để vẽ được phong bì.

Trong bài toán 7 cây cầu ở Königsberg, có bốn đỉnh, đều là các đỉnh lẻ. Do đó, không thể vẽ đồ thị đó bằng 1 nét. Tối thiểu cần 4/2 = 2 nét. Đó là lý do trong suốt chiều dài lịch sử, không người dân nào ở Königsberg có thể đi một lần qua tất cả các cây cầu mà không chiếc cầu nào bị lặp lại.

Bài toán về số mặt, số cạnh, và số đỉnh của một đa diện

L. Euler đã chứng minh định lý sau đây, thoạt nhìn tưởng như trò chơi trẻ con: Trong bất cứ đa diện lồi nào, số mặt trừ đi số cạnh cộng với số đỉnh đều bằng 2.

Hãy lấy vài ví dụ.

Trong một tứ diện, số mặt m=4, số cạnh c=6, số đỉnh d=4; 
Ta có m – c + d = 4 – 6 + 4= 2.

Trong một hình hộp chữ nhật, số mặt m=6, số cạnh c=12, số đỉnh d=8; 
Ta cũng có m – c + d = 6 – 12 + 8 = 2.

Vì sao lại có chuyện lúc thì lấy dấu “cộng”, lúc lại lấy dấu “trừ” trong định lý trên? Xin thưa: Mặt là một yếu tố 2 chiều, đỉnh thì 0 chiều, những yếu tố chẵn chiều thì được mang dấu cộng; còn cạnh là một yếu tố 1 chiều, tức số chiều lẻ, nên nó mang dấu trừ.

Giống như bài toán về 7 chiếc cầu, bài toán này cũng là một vấn đề hình học, nhưng không phụ thuộc vào độ lớn các yếu tố. Thật vậy, một đa diện dù bé như hạt đậu hay to như Trái đất thì số mặt, số cạnh, và số đỉnh của nó cũng không thay đổi. Nhận xét trên gợi ý cho suy luận sau đây: Hãy tưởng tượng đa diện lồi được làm bằng cao su. Ta hãy thổi phồng đa diện lồi đó thành một quả bóng hình cầu.

Các mặt, cạnh, và đỉnh của đa diện biến thành các mặt (cong), cạnh (cong), và đỉnh trên mặt cầu. Như thế, định lý trên của Euler về bản chất là một định lý về mặt cầu: Trong mọi cách phân mặt cầu thành các hình đa giác cong, số mặt trừ số cạnh cộng số đỉnh đều bằng 2. Hơn nữa, mọi hình thu được từ mặt cầu bằng một phép biến đổi liên tục (tương tự như co dãn màng cao su) đều nghiệm đúng định lý này.

Chúng ta vừa đạt được một bước tiến quan trọng trong cách nghĩ: Bài toán của Euler ban đầu xét rất nhiều đối tượng, là bất cứ đa diện lồi nào. Rút cuộc, nó là một bài toán về chỉ một đối tượng duy nhất, đó là mặt cầu.

Đạt được bước tiến đó là do chúng ta sử dụng lập luận về các biển đổi kiểu “co dãn cao su”. Người ta gọi đó là các phép biến đổi tôpô.

Bây giờ, thay cho mặt cầu đã nói ở trên, hãy lấy mặt xuyến (cái săm ôtô) làm thí nghiệm. Có thể phân chia cái săm bằng 2 đường (c=2), một đường cắt theo vết măng-xông, đường kia cắt dọc toàn bộ chiều dài săm. Hai đường này cắt nhau tại một điểm duy nhất (d=1). Bị cắt hai đường đó, săm trở thành một mặt hình chữ nhật (m=1). Vậy, số mà Euler quan tâm của mặt xuyến (săm) là m – c + d = 1 – 2 + 1 = 0.

Tiếp theo, hãy lấy một mặt “xuyến kép”, có được bằng cách dính 2 chiếc săm ôtô vào nhau. Bạn hãy tự chọn một cách chia mặt “xuyến kép” thành các mặt giống như hình vuông (cong), các cạnh (cong), và các đỉnh. Chẳng hạn, ta chọn cách chia mô tả bằng hình vẽ trên. Các đường đỏ và vàng cắt nhau ở 2 điểm (1 điểm nhìn thấy, 1 điểm là hình chiếu thẳng đứng của điểm nhìn thấy), vậy d= 2. Các đường đỏ và vàng được 2 đỉnh ấy chia làm 4 cạnh (4 nửa đường tròn), cộng thêm 2 đường màu xanh, vậy c= 6. Sau khi cắt theo các đường ấy mặt xuyến kép bị chia thành ra 2 hình chữ nhật, vậy m= 2. Ta có m - c + d = 2 - 6 + 2 = -2. Như thế, số Euler của xuyến kép là -2.

Ta có thể dính nhiều săm ôtô với nhau để tạo thành một mặt xuyến có g lỗ. Số mà Euler quan tâm đối với mặt đó bằng m – c + d = -2(g-1).

Trong tôpô hiện đại, định lý Euler được tổng quát hóa như sau: Nếu chia bất cứ một vật thể n chiều nào thành các phần “giống như đa diện”, thì tổng số các phần với chiều chẵn trừ đi tổng số các phần với chiều lẻ luôn là một hằng số, được gọi là đặc số Euler, của vật thể đó.

Như thế, mỗi vật thể đều là sự tổng hòa nhịp nhàng của hai phần âm và dương, chẵn và lẻ nội tại của nó, không thể thay đổi. Đặc số Euler, cũng còn được gọi là đặc số Euler – Poincaré (bởi vì Poincaré (1854-1912) chính là người đầu tiên ý thức được chuyện này ở trường hợp số chiều tùy ý), của một vật thể chính là một loại “bản thể”, một loại “chứng minh thư”, một “ID Card” của vật thể ấy.

Hệ quả là, nếu hai vật thể có đặc số Euler khác nhau, thì chúng không thể cái này biến thành cái kia sau một phép biến đổi thuận nghịch liên tục (kiểu như co dãn cao su). Người ta nói hai vật thể đó không cùng kiểu tôpô.

Như thế, mặt cầu, mặt xuyến, và mặt xuyến kép không cùng kiểu tôpô, vì chúng có đặc số Euler khác nhau (tương ứng bằng 2, 0, và -2). Về mặt trực giác, vì sao chúng không cùng kiểu tôpô? Lý do thật đơn giản: Mặt cầu không có lỗ nào; mặt xuyến có 1 lỗ (là cái chỗ người ta vẫn chui vào để biến săm thành phao bơi); còn mặt xuyến kép có 2 lỗ. Các nhà tôpô bảo mặt xuyến có 1 lỗ, nên có giống (genus) bằng 1; mặt xuyến kép có 2 lỗ, nên có giống bằng 2; mặt cầu không có lỗ nào, nên có giống bằng 0. À ra thế, phải có lỗ thì giống mới không bị triệt tiêu. Các nhà tôpô thật giỏi ỡm ờ.

Riemann còn chứng minh một định lý thật thâm thúy: Mọi mặt 2 chiều trơn (tức mịn màng), bị chặn (có thể giữ trong một căn phòng), và có hướng (tức là phân biệt được phía nào là ngoài da, phía nào là trong thịt) đều xác định được về mặt tôpô chỉ bằng cách đếm số lỗ trên nó. Chà chà, phải mời Picasso đến đây mới được.

Những chuyện kể trên có thể dẫn chúng ta đến những gì? Sau đây là một kết luận thật khó tin.

Khẳng định: Dù có nhào nặn một cục bột, hình cái bánh mì, kỹ đến mức nào, miễn là hình của cục bột lúc đầu và khi thôi nặn vẫn là cái bánh mì, nặn xong lại để cái bánh vào đúng chỗ cũ, khi đó luôn luôn có một hạt bột mì không thay đổi vị trí.

Thật vậy, sau một phép biến đổi liên tục 2 chiều, cục bột hình cái bánh mì được biến thành một hình cầu B. Gọi S là mặt cầu bao quanh B. Khẳng định trên được chứng minh bằng các bước suy luận sau đây:

1/ Không có phép biến đổi nào biến B thành S và vẫn giữ nguyên mọi điểm trên S. (Ý chứng minh: Giả sử tồn tại một phép biến đổi như thế. Trước phép biến đổi, S là biên của B, sau phép biến đổi S phải là biên của chính S. Điều này vô lý.)

2/ Giả sử phản chứng, sau nhào nặn không có hạt bột mì nào giữ nguyên vị trí. Giả sử hạt bột mì x được biến thành f(x) sau nhào nặn. Nửa đường thẳng nối f(x) với x (kéo dài) cắt mặt cầu S tại một điểm duy nhất, ký hiệu g(x). Phép biến đổi x thành g(x) chính là một phép biến hình liên tục, biến B thành S và giữ nguyên mọi điểm trên S. (Nếu x nằm trên S, thì nửa đường thẳng nối f(x) với x cắt S tại chính x.) Điều này mâu thuẫn với điểm 1). Mâu thuẫn này bác bỏ giả thiết phản chứng.

Hai bài toán được Euler nghiên cứu nói trên là những ví dụ đơn giản của các vấn đề hình học, trong đó kích cỡ không quan trọng, chỉ có hình dáng và vị trí tương đối đóng vai trò quyết định. Ngành toán học nghiên cứu những vấn đề như vậy ngày nay được gọi là Tôpô học (Topology).

Ngẫm cho kỹ thì chuyện kích cỡ không quan trọng đã được tạo hóa duy trì như một trong những nguyên lý hàng đầu, đóng vai trò “đảm bảo an ninh” không chỉ cho xã hội loài người, mà cho toàn bộ các giống loài trong tự nhiên. Nếu một người mua nhầm đôi giày, chật quá hay rộng quá, tức là người ấy gặp một vấn đề về kích cỡ, thì anh ta đem đổi. Thế nhưng, nếu người ấy lấy vợ, và nếu như anh ta cũng gặp một vấn đề về kích cỡ, rồi đòi đổi, thì nguy hiểm vô cùng. Và nếu rất nhiều người sau khi lấy vợ cùng gặp vấn đề về kích cỡ như thế, đều cần phải đổi, thì xã hội chắc chắn sinh loạn.

Bà chúa thơ Nôm Hồ Xuân Hương(1772–1822) chính là nhà Tôpô học đầu tiên của Việt Nam, người bằng trực cảm tuyệt vời đã phát biểu tường minh những ý tưởng táo bạo của tôpô từ hơn 200 năm trước. Không nghiên cứu bài toán về 7 cái cầu hay bài toán về số mặt số cạnh số đỉnh trong đa diện, nhưng bằng một tiếp cận đầy mẫn cảm, bà đã nhận ra chuyện này từ xưa. Bà viết thật nhân văn:

“Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả
Ngắn dài khuôn khổ cũng như nhau”.

Hai câu thơ đó trích trong bài “Dệt cửi” của bà:

“Thắp ngọn đèn lên thấy trắng phau
Con cò* mấp máy suốt canh thâu
Hai chân đạp xuống năng năng nhắc,
Một suốt đâm ngang thích thích mau,
Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả
Ngắn dài khuôn khổ cũng như nhau
Cô nào muốn tốt ngâm cho kỹ
Chờ đến ba thu mới dãi màu.”

Như thế, Hồ Xuân Hương (1772–1822) độc lập và gần như đồng thời với L. Euler (1707-1783), đã phát biểu tường minh quan điểm cơ bản của tôpô học. Nữ sĩ họ Hồ quả là đã khởi đầu đầy sinh khí cho đám hậu sinh làm tôpô của Việt Nam, trong đó có kẻ học trò viết bài này:

“Mát mặt anh hùng khi tắt gió
Che đầu quân tử lúc sa mưa”.

Theo được Hồ nữ sĩ quả là khó. May sao,

“Mỏi gối chồn chân vẫn muốn trèo”.

Vậy mà lại bảo các nhà Tôpô là hâm thì nghe thế quái nào được, hở giời.

Vĩ thanh

Lão Cò-nhà-đất đọc xong bài này cười phá lên, mà rằng: “Có mảnh đất cũng không biết nó to hay bé, vuông hay méo, lại bảo rằng như nhau tuốt. Thế thì nghèo suốt đời là phải. Bọn tôpô này xem ra chỉ lo chuyện giống thôi.

(Nguồn Tia sáng-Baomoi.com)